Zwei Unbekannte können in der Mathematik eine unlösbare Herausforderung darstellen. Aber ich möchte Sie nicht entmutigen: Bei der folgenden geometrischen Knobelei gibt es einen Lösungsweg. Es geht um ein rechtwinkliges Dreieck. Wir kennen die Länge einer Kathete – diese beträgt 18 (siehe Abbildung oben).

Wir wissen außerdem, dass auch die anderen beiden Seiten des Dreiecks eine ganzzahlige Länge haben.

Finden Sie alle Lösungen!

(Alle Seitenlängen sollen größer als null sein!)

Es existieren zwei Lösungen: 30 und 24 sowie 80 und 82.

Wir nutzen den Satz des Pythagoras und eine binomische Formel. Mit a bezeichnen wir die gesuchte Länge der zweiten Kathete des Dreiecks und mit c die Länge der Hypotenuse. Dann gilt:

c² = 18² + a²
c² – a² = 18²
(c – a) * (c + a) = 18²
(c – a) * (c + a) = 324

Weil a und c ganzzahlig sind, sind auch (c – a) und (c + a) ganze Zahlen. Ihr Produkt ist 324. Deshalb müssen (c – a) und (c + a) aus den Primfaktoren von 324 gebildet werden.

Die Primfaktorzerlegung von 324 lautet:

324 = 2² * 3⁴

Die Summe der beiden Faktoren (c – a) und (c + a) ist 2c, muss also eine gerade Zahl sein. Das ist nur möglich, wenn entweder (c – a) und (c + a) beide ungerade oder beide gerade sind.

Unter den Primfaktoren von 324 befinden sich zwei Zweien. Das bedeutet, dass immer mindestens einer der beiden Faktoren (c – a) und (c + a) gerade ist. Woraus folgt, dass beide gerade sein müssen – siehe vorheriger Absatz.

Da das Produkt der beiden Faktoren genau zwei Zweien enthält und beide Faktoren gerade sein müssen, erhält jeder Faktor genau eine Zwei. In (c – a) und (c + a) muss daher jeweils der Primfaktor 2 stecken.

Nun müssen wir nur noch alle Varianten anschauen, wie die vier Dreien über (c – a) und (c + a) verteilt werden können. Weil (c – a) nicht größer ist als (c + a), gibt es nur folgende drei Möglichkeiten:

Die dritte Variante entfällt, weil dann a null sein muss.

Bei der ersten Kombination erhalten wir c = 82 und a = 80. Die zweite Variante führt zur Lösung c = 30 und a = 24.

Die Idee zu diesem Rätsel stammt vom YouTube-Kanal »Herr Mathe« .

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:

• Wie groß ist die dunkle Fläche?

• Geschickt umgefüllt

• Wo versteckt sich der Preis?

• Welche Ziffer fehlt?

• Perfekte Aufteilung gesucht

• Wie ist das Verhältnis von blauer zu roter Fläche?

• 19 schwarze Kugeln und eine weiße – Gewinnstrategie gesucht

• Welche Ziffer steht ganz hinten?

• Eine Münze und drei Frauen

• Welcher Bruch erfüllt die Gleichung?