Echter Bruch, gemischter Bruch, Stammbruch – ich gebe zu, dass ich nicht mehr ganz genau weiß, was sich dahinter verbirgt. Aber letztlich ist das auch nicht so wichtig, solange man die Grundregeln des Rechnens mit gebrochenen Zahlen beherrscht.

Die neue Knobelei ist eine Gleichung mit drei Unbekannten, was bedeuten kann, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Aber ist das auch hier der Fall?

Links steht die Dezimalzahl 3,14. Rechts ein kompliziert aussehender Bruch mit den drei Unbekannten a, b, c, wobei es sich sämtlich um positive ganze Zahlen handelt.

Finden Sie alle Lösungen der Gleichung!

Es gibt nur eine Lösung: a = 3, b = 7, c = 7.

Beginnen wir zunächst mit dem Bruch rechts von a. Die Zahl 1/(b + 1/c) ist kleiner als 1, weil b und c größer gleich 1 sind.

Daraus folgt direkt, dass a gleich 3 ein muss. Wäre a nur 2 oder kleiner, würde die Summe a + 1/(b + 1/c) kleiner als 3 sein. Die Summe muss aber 3,14 sein. Wäre a 4 oder größer, würde die Summe a + 1/(b + 1/c) auf jeden Fall größer als 4 sein, weil 1/(b + 1/c) größer als Null ist. Also liefert auch a größer 3 keine Lösung.

Mit a = 3 haben wir also schon eine der drei Unbekannten gefunden. Wir suchen nun also eine Lösung der Gleichung:

0,14 = 1/(b + 1/c)

0,14 können wir als Bruch schreiben: 14/100 = 7/50. Es muss also gelten:

1/(b + 1/c) = 7/50

Was gleichbedeutend ist mit

b + 1/c = 1/(50/7)

b + 1/c = 7 + 1/7

Die Summer b + 1/c ist also größer als 7 und kleiner als 8. Da b und c positive ganze Zahlen sind, muss zwingend gelten:

b = 7

Warum? c = 1 entfällt als Lösung, deshalb ist 1/c < 1 und nur im Fall b = 7 ist die Summe b + 1/c größer als 7 und kleiner als 8.

Bleibt noch die Unbekannte c. Nach der müssen wir nicht mehr lange suchen – sie steht im Nenner des Bruchs 1/7:

c = 7

Die Lösung lautet damit:

3,14 = 3 + 1/(7 + 1/7)

Entdeckt habe ich diese eher leichte Aufgabe in der Facebook-Gruppe »Math Battle« .

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